Analysis 1 (eBook)

Vladimir A. Zorich (Autor)

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2006 | 2006
XVIII, 598 Seiten
Springer Berlin (Verlag)
978-3-540-33278-7 (ISBN)

Infos

Weltbestes Analysislehrbuch: ausführlicher Einblick in die Anfänge der Analysis. Mit einer Fülle hilfreicher Beispiele, Aufgaben und Anwendungen. Band 1: vollständige Übersicht zur Integral- und Differentialrechnung. Modern, anschaulich, verständlich.

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Dieses zweibändige Werk bietet einen ausführlichen und tiefgehenden Einblick in die Anfänge der Analysis, von der Einführung der reellen Zahlen, bis hin zu fortgeschrittenen Themen wie Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, asymptotische Betrachtungen, Fourier-, Laplace- und Legendretransformationen, elliptische Funktionen und Distributionen.
Besonders hervorzuheben ist dabei die deutliche Ausrichtung auf naturwissenschaftliche Fragestellungen und die detaillierte Herangehensweise an die wichtigen Begriffe, Inhalte und Sätze der Integral- und Differentialrechnung. Klarheit und Exaktheit in der Präsentation wird dabei durch eine Fülle von hilfreichen Beispielen, Aufgaben und Anwendungen, die selten in Analysisbüchern zu finden sind, ergänzt.

Der erste Band liefert eine vollständige übersicht zur Integral- und Differentialrechnung einer Variablen, erweitert um die Differentialrechnung mehrerer Variabler in modernen, präzisen und gleichzeitig anschaulichen und verständlichen Formulierungen.

Inhalt

Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeine mathematische Begriffe und Schreibweisen. 1
1.1 Logische Symbole. 1
1.1.1 Bindew¨orter und Klammern. 1
1.1.2 Hinweise zu Beweisen. 3
1.1.3 Einige besondere Schreibweisen. 3
1.1.4 Abschließende Anmerkungen. 3
1.1.5 ¨Ubungen. 4
1.2 Mengen und elementare Mengenoperationen. 5
1.2.1 Der Begriff einer Menge. 5
1.2.2 Teilmengen. 7
1.2.3 Elementare Mengenoperationen. 9
1.2.4 ¨Ubungen. 11
1.3 Funktionen. 12
1.3.1 Der Begriff einer Funktion (Abbildung). 12
1.3.2 Elementare Klassifizierung von Abbildungen. 17
1.3.3 Zusammengesetzte Funktionen. Inverse Abbildungen. 18
1.3.4 Funktionen als Relationen. Der Graph einer Funktion. 20
1.3.5 ¨Ubungen. 24
1.4 Erg¨anzungen. 27
1.4.1 Die M¨achtigkeit einer Menge (Kardinalzahlen). 27
1.4.2 Axiome der Mengenlehre. 29
1.4.3 S¨atze in der Sprache der Mengenlehre. 31
1.4.4 ¨Ubungen. 33
2 Die reellen Zahlen. 37
2.1 Axiome und Eigenschaften der reellen Zahlen. 38
2.1.1 Definition der Menge der reellen Zahlen. 38
2.1.2 Algebraische Eigenschaften der reellen Zahlen. 42
2.1.3 Das Vollst¨andigkeitsaxiom. Die kleinste obere Schranke 46
2.2 Klassen reeller Zahlen und Berechnungen. 49
2.2.1 Die nat¨urlichen Zahlen. Mathematische Induktion. 49
XVI Inhaltsverzeichnis
2.2.2 Rationale und irrationale Zahlen. 52
2.2.3 Das archimedische Prinzip. 55
2.2.4 Geometrische Interpretation. Gesichtspunkte beim
Rechnen. 57
2.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben. 70
2.3 Wichtige S¨atze zur Vollst¨andigkeit. 74
2.3.1 Der Satz zur Intervallschachtelung. 74
2.3.2 Der Satz zur endlichen ¨Uberdeckung. 75
2.3.3 Der Satz vom H¨aufungspunkt. 76
2.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben. 77
2.4 Abz¨ahlbare und ¨uberabz¨ahlbare Mengen. 78
2.4.1 Abz¨ahlbare Mengen. 78
2.4.2 Die M¨achtigkeit des Kontinuums. 80
2.4.3 ¨Ubungen und Aufgaben. 81
3 Grenzwerte. 83
3.1 Der Grenzwert einer Folge. 84
3.1.1 Definitionen und Beispiele. 84
3.1.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Folge. 86
3.1.3 Existenz des Grenzwertes einer Folge. 90
3.1.4 Elementares zu Reihen. 99
3.1.5 ¨Ubungen und Aufgaben. 109
3.2 Der Grenzwert einer Funktion. 112
3.2.1 Definitionen und Beispiele. 112
3.2.2 Eigenschaften des Grenzwertes einer Funktion. 116
3.2.3 Grenzwert auf einer Basis. 132
3.2.4 Existenz des Grenzwertes einer Funktion. 137
3.2.5 ¨Ubungen und Aufgaben. 153
4 Stetige Funktionen. 157
4.1 Wichtige Definitionen und Beispiele. 157
4.1.1 Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt. 157
4.1.2 Unstetigkeitsstellen. 162
4.2 Eigenschaften stetiger Funktionen. 165
4.2.1 Lokale Eigenschaften. 165
4.2.2 Globale Eigenschaften stetiger Funktionen. 167
4.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben. 176
5 Differentialrechnung. 181
5.1 Differenzierbare Funktionen. 181
5.1.1 Problemstellung und einleitende Betrachtungen. 181
5.1.2 In einem Punkt differenzierbare Funktionen. 186
5.1.3 Tangenten und geometrische Interpretation der
Ableitung. 189
5.1.4 Die Rolle des Koordinatensystems. 192
Inhaltsverzeichnis XVII
5.1.5 Einige Beispiele. 194
5.1.6 ¨Ubungen und Aufgaben. 200
5.2 Wichtige Ableitungsregeln. 201
5.2.1 Differentiation und arithmetische Operationen. 201
5.2.2 Differentiation einer verketteten Funktion (Kettenregel) 205
5.2.3 Differentiation einer inversen Funktion. 208
5.2.4 Ableitungstabelle der Elementarfunktionen. 213
5.2.5 Differentiation einer sehr einfachen impliziten Funktion 213
5.2.6 Ableitungen h¨oherer Ordnung. 218
5.2.7 ¨Ubungen und Aufgaben. 222
5.3 Die zentralen S¨atze der Differentialrechnung. 223
5.3.1 Der Satz von Fermat und der Satz von Rolle. 223
5.3.2 Der Mittelwertsatz und der Satz von Cauchy. 225
5.3.3 Die Taylorschen Formeln. 229
5.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben. 242
5.4 Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen. 246
5.4.1 Bedingungen f¨ur die Monotonie einer Funktion. 246
5.4.2 Bedingungen f¨ur ein inneres Extremum einer Funktion. 247
5.4.3 Bedingungen f¨ur die Konvexit¨at einer Funktion. 253
5.4.4 Die Regel von L’Hˆopital. 261
5.4.5 Das Konstruieren von Graphen von Funktionen. 263
5.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben. 272
5.5 Komplexe Zahlen und Elementarfunktionen. 276
5.5.1 Komplexe Zahlen. 276
5.5.2 Konvergenz in C und Reihen mit komplexen Gliedern. 280
5.5.3 Eulersche Formel und Elementarfunktionen. 285
5.5.4 Analytischer Zugang zur Potenzreihendarstellung. 288
5.5.5 Algebraische Abgeschlossenheit des K¨orpers C. 293
5.5.6 ¨Ubungen und Aufgaben. 300
5.6 Beispiele zur Differentialrechnung in den Naturwissenschaften. 301
5.6.1 Bewegung eines K¨orpers mit ver¨anderlicher Masse. 302
5.6.2 Die barometrische H¨ohenformel. 304
5.6.3 Radioaktiver Zerfall und Kernreaktoren. 306
5.6.4 In der Atmosph¨are fallende K¨orper. 308
5.6.5 Die Zahl e und ein erneuter Blick auf exp x. 310
5.6.6 Schwingungen. 313
5.6.7 ¨Ubungen und Aufgaben. 316
5.7 Stammfunktionen. 320
5.7.1 Stammfunktionen und das unbestimmte Integral. 321
5.7.2 Allgemeine Methoden zur Bestimmung einer
Stammfunktion. 323
5.7.3 Stammfunktionen rationaler Funktionen. 329
5.7.4 Stammfunktionen der Form R R(cos x, sin x) dx. 333
5.7.5 Stammfunktionen der Form R R(x, y(x)) dx. 335
5.7.6 ¨Ubungen und Aufgaben. 338
XVIII Inhaltsverzeichnis
6 Integralrechnung. 345
6.1 Definition des Integrals. 345
6.1.1 Problemstellung und einf¨uhrende Betrachtungen. 345
6.1.2 Definition des Riemannschen Integrals. 347
6.1.3 Die Menge der integrierbaren Funktionen. 349
6.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben. 363
6.2 Linearit¨at, Additivit¨at und Monotonie des Integrals. 365
6.2.1 Das Integral als lineare Funktion auf dem Raum R[a, b] 365
6.2.2 Das Integral als eine additive Intervallfunktion. 365
6.2.3 Absch¨atzung, Monotonie und Mittelwertsatz. 368
6.2.4 ¨Ubungen und Aufgaben. 376
6.3 Das Integral und die Ableitung. 377
6.3.1 Das Integral und die Stammfunktion. 377
6.3.2 Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung 380
6.3.3 Partielle Integration und Taylorsche Formel. 381
6.3.4 ¨Anderung der Variablen in einem Integral. 383
6.3.5 Einige Beispiele. 385
6.3.6 ¨Ubungen und Aufgaben. 390
6.4 Einige Anwendungen der Integralrechnung. 393
6.4.1 Additive Intervallfunktionen und das Integral. 393
6.4.2 Bogenl¨ange. 395
6.4.3 Die Fl¨ache eines krummlinigen Trapezes. 402
6.4.4 Volumen eines Drehk¨orpers. 404
6.4.5 Arbeit und Energie. 404
6.4.6 ¨Ubungen und Aufgaben. 411
6.5 Uneigentliche Integrale. 413
6.5.1 Definition, Beispiele und wichtige Eigenschaften. 413
6.5.2 Konvergenz eines uneigentlichen Integrals. 418
6.5.3 Uneigentliche Integrale mit mehr als einer Singularit¨at. 425
6.5.4 ¨Ubungen und Aufgaben. 428
7 Funktionen mehrerer Variabler. 431
7.1 Der Raum Rm und seine Unterr¨aume. 432
7.1.1 Die Menge Rm und der Abstand in dieser Menge. 432
7.1.2 Offene und abgeschlossene Mengen in Rm. 433
7.1.3 Kompakte Mengen in Rm. 436
7.1.4 ¨Ubungen und Aufgaben. 438
7.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler. 438
7.2.1 Der Grenzwert einer Funktion. 438
7.2.2 Stetigkeit einer Funktion mehrerer Variabler. 444
7.2.3 ¨Ubungen und Aufgaben. 449
Inhaltsverzeichnis XIX
8 Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variabler. 451
8.1 Die lineare Struktur auf Rm. 451
8.1.1 Rm als Vektorraum. 451
8.1.2 Lineare Transformationen L: Rm ! Rn. 452
8.1.3 Die Norm in Rm. 453
8.1.4 Die euklidische Struktur auf Rm. 455
8.2 Das Differential einer Funktion mehrerer Variabler. 456
8.2.1 Differenzierbarkeit und das Differential in einem Punkt. 456
8.2.2 Partielle Ableitung einer Funktion mit reellen Werten. 457
8.2.3 Die Jacobimatrix in koordinatenweiser Darstellung. 460
8.2.4 Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit in einem
Punkt. 461
8.3 Die wichtigsten Gesetze der Differentiation. 462
8.3.1 Linearit¨at der Ableitung. 462
8.3.2 Ableitung verketteter Abbildungen (Kettenregel). 465
8.3.3 Ableitung einer inversen Abbildung. 470
8.3.4 ¨Ubungen und Aufgaben. 472
8.4 Reelle Funktionen mehrerer Variabler. 478
8.4.1 Der Mittelwertsatz. 478
8.4.2 Eine hinreichende Bedingung f¨ur die Differenzierbarkeit 480
8.4.3 Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung. 481
8.4.4 Die Taylorsche Formel. 484
8.4.5 Extrema von Funktionen mehrerer Variabler. 486
8.4.6 Einige geometrische Darstellungen. 493
8.4.7 ¨Ubungen und Aufgaben. 497
8.5 Der Satz zur impliziten Funktion. 504
8.5.1 Einleitung. 504
8.5.2 Ein einfacher Satz zur impliziten Funktion. 506
8.5.3 ¨Ubergang zur Gleichung F(x1,., xm, y) = 0. 510
8.5.4 Der Satz zur impliziten Funktion. 513
8.5.5 ¨Ubungen und Aufgaben. 518
8.6 Einige Korollare zum Satz zur impliziten Funktion. 522
8.6.1 Der Satz zur inversen Funktion. 522
8.6.2 Lokale Reduktion in kanonische Form. 527
8.6.3 Funktionale Abh¨angigkeit. 532
8.6.4 Lokale Zerlegung eines Diffeomorphismus. 534
8.6.5 Das Morse-Lemma. 537
8.6.6 ¨Ubungen und Aufgaben. 540
8.7 Fl¨achen in Rn und bedingte Extrema. 542
8.7.1 k-dimensionale Fl¨achen in Rn. 542
8.7.2 Der Tangentialraum. 547
8.7.3 Extrema mit Nebenbedingungen. 552
8.7.4 ¨Ubungen und Aufgaben. 565
XX Inhaltsverzeichnis
Einige Aufgaben aus den Halbjahrespr¨ufungen. 571
1. Einf¨uhrung der Analysis (Zahlen, Funktionen, Grenzwerte). 571
2. Differentialrechnung in einer Variablen. 572
3. Integration und Einf¨uhrung mehrerer Variabler. 574
4. Differentialrechnung mehrerer Variabler. 575
Pr¨ufungsgebiete. 579
1. Erstes Semester. 579
1.1. Einleitung und Differentialrechnung in einer Variablen. 579
2. Zweites Semester. 581
2.1. Integration. Differentialrechnung mit mehreren Variablen. 581
Literaturverzeichnis. 585
1. Klassische Werke. 585
1.1 Orginalquellen. 585
1.2 Wichtige umfassende grundlegende Werke. 585
1.3 Klassische Vorlesungen in Analysis aus der ersten H¨alfte
des 20. Jahrhunderts. 585
2. Lehrb¨ucher. 586
3. Studienunterlagen. 586
4. Weiterf¨uhrende Literatur. 587
Namensverzeichnis. 589
Sachverzeichnis. 591

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 23.11.2006
• Reihe/Serie: Springer-Lehrbuch
• Übersetzer: J. Schüle
• Verlagsort: Berlin
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Analysis
• Schlagworte: Ableitung • Analysis • Differenzialgleichung • Differenzialrechnung • Funktionen • Grenzwert • Grenzwerte • Integralrechnung • Komplexe Zahlen • reelle Zahlen • Stetigkeit
• ISBN-10: 3-540-33278-2 / 3540332782
• ISBN-13: 978-3-540-33278-7 / 9783540332787