Professor Stewarts mathematische Schätze (eBook)

Ian Stewart (Autor)

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2012 | 1. Auflage
432 Seiten
Rowohlt Verlag GmbH
978-3-644-01711-5 (ISBN)

Infos

Was war noch mal die Catalan'sche Vermutung? Und woher kommt eigentlich das Wurzelsymbol? Was hat die Zahl Pi mit dem Sternenhimmel zu tun? Wer erfand das Gleichheitszeichen? Der britische Matheguru Ian Stewart breitet in diesem Band Schätze aus, die er in Jahrzehnten gesammelt hat: über 180 interessante Matherätsel, Lösungen, Spiele, Tricks, Geschichten, Anekdoten und Logeleien. Zudem ist Stewarts Schatztruhe mit interessanten historischen Exkursen angereichert, zum Beispiel einer kurzen Einführung in das Rechnen der Maya und der alten Ägypter und auch in die Vergangenheit unseres eigenen Rechnens: Wer erfand das Gleichheitszeichen - und warum? Ein Buch zum Blättern und Stöbern, zum Spaßhaben und Dazulernen, für Laien und für Fortgeschrittene.

Ian Stewart, geboren 1945, ist der beliebteste Mathematik-Professor Großbritanniens. Seit Jahrzehnten bemüht er sich erfolgreich, seine Wissenschaft zu popularisieren. Er studierte Mathematik in Cambridge und promovierte an der Universität Warwick. Dort ist er heute Professor für Mathematik und Direktor des Mathematics Awareness Center. Seit 2001 ist Stewart zudem Mitglied der Royal Society. Er lebt mit seiner Familie in Coventry.

Autor

Ian Stewart, geboren 1945, ist der beliebteste Mathematik-Professor Großbritanniens. Seit Jahrzehnten bemüht er sich erfolgreich, seine Wissenschaft zu popularisieren. Er studierte Mathematik in Cambridge und promovierte an der Universität Warwick. Dort ist er heute Professor für Mathematik und Direktor des Mathematics Awareness Center. Seit 2001 ist Stewart zudem Mitglied der Royal Society. Er lebt mit seiner Familie in Coventry. Monika Niehaus, Diplom in Biologie, Promotion in Neuro- und Sinnesphysiologie, freiberuflich als Autorin (SF, Krimi, Sachbücher), Journalistin und naturwissenschaftliche Übersetzerin (englisch/französisch) tätig. Mag Katzen, kocht und isst gern in geselliger Runde. Trägerin des Martin-Wieland-Übersetzerpreises 2021. Bernd Schuh, geboren 1948  ist Physiker, Dozent, Journalist, Autor und Übersetzer. Er studierte Mathematik, Physik und Chemie in Köln, wurde 1977 promoviert und habilitierte sich 1982 in Physik. Er ist Träger des Georg von Holtzbrinck Preises für Wissenschaftsjournalismus. 

Textauszug

ALLES ANTIMATERIE, ODER WAS?

Harold P. Furth war ein in Österreich geborener amerikanischer Physiker, der an der Kernfusion und auf ähnlichen Gebieten forschte. 1956 schrieb er ein kurzes Gedicht betitelt «Perils of Modern Living» (Gefahren des modernen Lebens), das folgendermaßen beginnt:

Well up above the tropostrata

There is a region stark and stellar

Where, on a streak of anti-matter

Lived Dr Edward Anti-Teller.

Auf Deutsch etwa:

Weit oberhalb der Troposhäre

Wo alle Sterne scheinen heller

Auf einem Streifen Antimaterie

Lebte Dr. Edward Anti-Teller.

Edward Teller, einer der Erfinder der Wasserstoffbombe, erlangte großen politischen Einfluss und stand für die Figur des Dr. Strangelove in dem gleichnamigen Film Pate. (Im deutschen Sprachraum ist der Film als «Dr. Strangelove oder: Wie ich lernte die Bombe zu lieben» bekannt.) Das Gedicht fährt fort zu beschreiben, wie eines Tages ein Besucher von der Erde auftaucht und sich Mensch und Antimensch einander nähern:

… their right hands

Clasped, and the rest was gamma rays.

 

… sie reichten sich die rechte Hand

Und der Rest war Gammastrahlung.

Wer mit Star Trek groß geworden ist, weiß, dass Antimaterie eine Art «Spiegelbild» normaler Materie ist und dass die beiden unter Aussendung eines gigantischen Lichtblitzes zerstrahlen, wenn sie zusammenkommen. Die Gesamtmasse der beiden Materietypen wird als pure Energie frei. Dank Einsteins Formel E = mc2 verwandelt sich eine kleine Masse m in eine riesige Menge Energie, weil die Lichtgeschwindigkeit c sehr groß ist und c2 deshalb noch größer.

Mit normaler Materie in Berührung zu kommen ist kein Problem; es gibt jede Menge um uns herum. Wenn wir auch ein kleines bisschen Antimaterie bekommen könnten (nicht indem wir Hand anlegen), hätten wir eine kompakte Quelle fast unbeschränkter Energie. Dieses Potenzial ist Physikern und Star-Trek-Autoren seit langem bekannt. Man muss nur Antimaterie finden oder herstellen und sie in etwas aufbewahren, wo sie nicht mit normaler Materie in Kontakt kommen kann, wie in einer magnetischen Flasche. In Star Trek funktioniert das prima, aber die heutige Technologie bleibt betrüblicherweise hinter den Errungenschaften der Sternenschiffkommandanten im 22. Jahrhundert21 weit zurück.

In den gängigen Theorien der Elementarteilchenphysik, die sehr gut durch Experimente untermauert sind, hat jedes geladene subatomare Teilchen ein zugehöriges Antiteilchen mit derselben Masse, aber entgegengesetzter elektrischer Ladung, und wenn die zwei zusammen kommen – bumm! So, in unserer Sammlung mathematischer Schätze geht es nicht um Physik, aber diese spezielle Physik entstand unbeabsichtigt als Nebeneffekt einer mathematischen Rechnung. Gelegentlich kann ein bisschen Mathematik, ernst genommen, eine wissenschaftliche Revolution auslösen.

1928 versuchte ein junger Physiker namens Paul Dirac, die brandneuen Ideen der Quantenmechanik mit den nicht mehr ganz brandneuen Ideen der Relativitätslehre in Einklang zu bringen. Er betrachtete das Elektron, eins der Teilchen, aus denen Atome aufgebaut sind, und schrieb schließlich eine Gleichung auf, die sowohl die Quanteneigenschaften des Teilchens beschrieb als auch mit Einsteins Spezieller Relativitätstheorie verträglich war. Das war, um es deutlich zu sagen, alles andere als einfach. Die Dirac-Gleichung war eine Großtat der Physik, und sie war eine der Entdeckungen, die zu Diracs Nobelpreis 1933 führte. Für alle Liebhaber von Gleichungen da draußen: Sie finden sie in der Anmerkung auf Seite 374.

Dirac begann mit der gewöhnlichen quantenmechanischen Gleichung des Elektrons, die es als Welle beschreibt. Die Schwierigkeit bestand darin, die Gleichung so umzubauen, dass sie die Anforderungen der Speziellen Relativitätstheorie erfüllte. Um das zu erreichen, folgte er seiner berühmten «Nase» für elegante Mathematik, und suchte eine Gleichung, die Energie und Impuls gleichberechtigt behandelte. Als er eines Abends in Cambridge am Kamin saß und das Problem wälzte, fiel ihm eine clevere Möglichkeit ein, den «Hamilton-Operator» – ein zentrales Merkmal der gewöhnlichen Gleichung – als Quadrat von einem einfacheren Ausdruck umzuschreiben. Dieser Schritt führte unmittelbar auf einige technische Fragen, mit denen man sich auskannte, und schon stand ihm die gewünschte Gleichung vor Augen.

Es gab allerdings noch einen Haken. Seine Umformulierung führte zu neuen Lösungen seiner Gleichung, die die alte Gleichung nicht lösten. Das passiert immer, wenn man eine Gleichung quadriert; zum Beispiel wird aus x = 2 beim Quadrieren x2 = 4 und die hat eine zusätzliche Lösung x = – 2. Physikalisch gesprochen hat eine der Lösungen von Diracs Gleichung positive kinetische Energie22, die andere negative. Die erste Lösung erfüllt alle Eigenschaften eines Elektrons – aber die zweite? Auf den ersten Blick macht negative Energie keinen Sinn.

In der klassischen (will sagen nicht quantisierten) Relativitätstheorie kommt so etwas auch vor, aber dort kann man es vermeiden. Ein Teilchen kann niemals von einem Zustand positiver Energie in einen Zustand negativer Energie wechseln, weil sich das System stetig ändern muss. In der Quantentheorie können Teilchen jedoch diskontinuierlich (unstetig) von einem Zustand in einen anderen «springen». Also könnte ein Elektron im Prinzip von einem physikalisch sinnvollen Zustand positiver Energie in einen dieser verblüffenden Zustände negativer Energie springen.

Dirac befand, er müsse diese rätselhaften Lösungen ebenso zulassen. Aber was sollten sie darstellen?

Wie alle subatomaren Teilchen ist das Elektron durch einen Satz physikalischer Größen gekennzeichnet, wie seine Masse, seinen Spin und seine Ladung. So wie es durch die Dirac-Gleichung beschrieben wird, hat das Teilchen alle für ein Elektron nötigen Eigenschaften, insbesondere ist sein Spin ½ und seine Ladung (in geeigneten Einheiten) –1. Indem er die Details ausarbeitete, fand Dirac heraus, dass die verstörenden Lösungen sich wie Elektronen verhielten, die denselben Spin und dieselbe Masse hatten, aber genau umgekehrte Ladung, +1. Dirac war seiner mathematischen Intuition gefolgt und hatte dabei ein neues Teilchen entdeckt.

Ironischerweise verpasste er die Entdeckung, teils, weil er dachte, das «neue» Teilchen sei das altbekannte Proton, das ja positive Ladung hat. Nun ist ein Proton aber 1860-mal schwerer als ein Elektron, wohingegen die Lösungen der Dirac-Gleichung mit negativer Energie dieselbe Masse wie ein Elektron haben. Dirac meinte jedoch, der Grund sei eine Art Asymmetrie im Elektromagnetismus, und so betitelte er seine Veröffentlichung mit «A Theory of Electrons and Protons» (Eine Theorie von Elektronen und Protonen). Das war eine verpasste Gelegenheit, denn 1932 fand Carl D. Anderson in einem Nebelkammerexperiment, in dem kosmische Strahlen entdeckt werden sollten, ein Teilchen mit der Masse des Elektrons, aber entgegengesetzter Ladung. Er nannte den Neuling Positron. Als man Dirac fragte, warum er das Teilchen nicht vorausgesagt habe, soll er geantwortet haben: «Reine Feigheit!»

Mit der Entdeckung der Positronen waren aber nicht alle Schwierigkeiten überwunden. Das einzelne Positron hat keine negative Energie, deshalb schlug Dirac vor, dass seine Gleichung sich in Wirklichkeit auf einen «See» von Elektronen negativer Energie bezieht, die fast alle verfügbaren Zustände negativer Energie besetzen. «Ein nicht besetzter Zustand negativer Energie», schrieb er, «wird deshalb wie etwas mit positiver Energie aussehen, denn um ihn verschwinden zu lassen, … müssten wir ein Elektron mit negativer Energie hinzufügen.» Und er merkte an, dass ein quantenmechanisches Vakuum genau solch einen See von Teilchen darstelle. Nichts davon ist wirklich befriedigend, auch nicht, wenn man es in der Sprache der Quantenfeldtheorie neu formuliert. Aber Diracs Gleichung beschreibt nur ein einzelnes Teilchen und keine Wechselwirkungen; genau da aber entstehen die physikalischen Unstimmigkeiten. Physiker geben sich also mit der Dirac-Gleichung zufrieden, solange sichergestellt ist, dass ihre Interpretation nicht überzogen wird.

Die Konsequenzen dieser Entdeckungen sind enorm. Die moderne Teilchenphysik betrachtet die Existenz von Antimaterie als eine tiefliegende und schöne Symmetrie der Naturgesetze, die man Ladungsumkehr oder auch Ladungskonjugation nennt. Jedes Teilchen hat ein Antiteilchen, das sich hauptsächlich durch seine Ladung unterscheidet. Ungeladene Teilchen wie das Foton können ihre eigenen Antiteilchen sein.23 Wenn Teilchen und Antiteilchen aufeinandertreffen, zerstrahlen sie in einer Wolke von Fotonen.

Der Urknall sollte eigentlich gleich viele Teilchen und Antiteilchen erzeugt haben, sodass unser Universum gleich viel Materie und Antimaterie enthalten müsste – Fotonen nicht mitgezählt. Wären Materie und Antimaterie gründlich vermischt, würden sie aufeinandertreffen und es gäbe nur noch Fotonen. Unser Universum ist aber nicht so; es besteht nicht nur aus Fotonen und es scheint sogar alles normale Materie zu sein. Das stellt ein Rätsel dar, das man Baryonen-Asymmetrie nennt. Eine wirklich befriedigende Lösung für dieses Dilemma wurde noch nicht gefunden. Es zeigt sich jedoch, dass die Ladungsumkehr nicht ganz exakt gilt, und es wären nur eine Milliarde...

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 9.3.2012
• Reihe/Serie: Professor Stewarts Mathematik
• Reihe/Serie: Professor Stewarts Mathematik
• Übersetzer: Monika Niehaus, Dr. Bernd Schuh
• Zusatzinfo: Zahlr. s/w Abb.
• Verlagsort: Hamburg
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Sachbuch/Ratgeber ► Natur / Technik ► Naturwissenschaft
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Themenwelt: Technik
• Schlagworte: Denksport • für Fortgeschrittene • für Laien • Geschichte • Mathematik • Mathematische Rätsel • Populärwissenschaftlich • Rätsel • Sammlung • Unterhaltungsmathematik • Zahlenrätsel
• ISBN-10: 3-644-01711-5 / 3644017115
• ISBN-13: 978-3-644-01711-5 / 9783644017115