Plans d'expérience: constructions et analyses statistiques (eBook)

Walter Tinsson (Autor)

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2010
532 Seiten
Springer Berlin (Verlag)
9783642114724 (ISBN)

Infos

Il est souvent nécessaire de réaliser des expériences afin de modéliser le comportement d'un phénomène complexe. La méthode des plans d'expérience a pour objectif d'obtenir un maximum d'information sur le phénomène étudié en un minimum d'expériences. Ceci est primordial si l'objectif est un gain de temps ou de qualité. Cet ouvrage détaille les fondements théoriques de la méthode mathématique des plans d'expérience. Ceci est abordé tout au long des quatre parties suivantes. Présentation générale de la méthode et des outils mathématiques. Plans d'expérience pour facteurs quantitatifs : modèle d'ordre un, modèle à effets d'interactions, surface de réponse, modèle à effets de blocs et modèle pour mélanges. Plans d'expérience pour facteurs qualitatifs : modèle additif, modèle à effets d'interactions et modèle à effets de blocs. Efficacité et optimalité : optimalité uniforme, A, D et E-efficacité, généralisation à la notion de F_q-efficacité, optimalité universelle. De nombreux exemples sont utilisés afin d'illustrer les diverses techniques présentées. Les démonstrations mathématiques de la plupart des résultats énoncés figurent en annexe.

When a complex phenomenon is studied it is common to run experiments in order to fit a model. In such situations experimental designs can be used to find a maximum of information in a minimum of trials. This is of prime importance when the goal is to save time or improve quality. This book is structured in four parts: a general presentation of the method and mathematical background, experimental designs for
quantitative factors, experimental designs for qualitative factors, and optimality of experimental designs. Numerous examples are introduced in order to illustrate the applications and mathematical proofs for most of the results are given in appendices.

Inhalt

Table des matieres 6
Preface 14
Partie I Généralités 17
1 La notion de plan d'expérience 18
1.1 Introduction 18
1.2 La démarche de planification expérimentale 19
1.2.1 Objectifs 19
1.2.2 Réponse 19
1.2.3 Facteurs 20
1.2.4 Domaine expérimental 21
1.2.5 Réalisation des expériences 22
1.3 Historique 29
1.4 Guide de lecture de l'ouvrage 30
1.4.1 Positionnement 30
1.4.2 Structure 31
1.4.3 Analyse des exemples 34
1.5 Thèmes non abordés dans l'ouvrage 35
1.5.1 Plans pour modèles mixtes 36
1.5.2 Plans pour modèles non linéaires 36
1.5.3 Plans à effets de voisinage 37
1.5.4 Plans d'expérience numériques 38
1.6 Logiciels pour les plans d'expérience 38
1.7 Présentation d'une étude 39
1.7.1 Facteurs et réponse 40
1.7.2 Domaine expérimental 40
1.7.3 Codage des facteurs 41
1.7.4 Plan d'expérience utilisé 41
1.7.5 Ajustement d'un modèle d'ordre un 43
1.7.6 Ajustement d'un modèle à effets d'interactions 45
1.7.7 Ajustement d'un modèle d'ordre deux 47
1.7.8 Recherche des conditions optimales 50
1.7.9 Conclusion 51
2 Outils mathématiques pour les plans d'expérience 53
2.1 Introduction 53
2.2 Algèbre 54
2.2.1 Calcul matriciel 54
2.2.2 Projection orthogonale 55
2.2.3 Analyse spectrale 55
2.2.4 Matrices particulières 56
2.2.5 Notion de groupe 57
2.3 Probabilités 57
2.3.1 Variables aléatoires réelles 57
2.3.2 Vecteurs aléatoires 58
2.4 Statistiques 59
2.4.1 Notion d'estimateur 59
2.4.2 Modèle statistique 60
2.4.3 Modélisation linéaire 61
2.4.4 Estimation au sens des moindres carrés 63
2.4.5 Prédiction de la réponse moyenne 64
2.5 Analyse de la variance 65
2.5.1 Décomposition fondamentale 65
2.5.2 Coefficient de corrélation linéaire multiple 67
2.5.3 Estimation de 2 68
2.5.4 Décomposition plus fine de SSE 69
2.6 Tests d'hypothèses 72
2.6.1 Exemple introductif 72
2.6.2 Cas général 73
2.6.3 Test de validité du modèle 74
2.6.4 Test de significativité des paramètres 75
2.6.5 Test d'ajustement du modèle 76
2.6.6 Exemples 77
2.7 (Compléments) Démonstrations 83
Partie II Plans d'expérience pour facteurs quantitatifs 88
3 Plans d'expérience pour modèles d'ordre un 89
3.1 Introduction 89
3.2 Généralités 90
3.2.1 Variables codées 90
3.2.2 Modèle utilisé 91
3.2.3 Moments d'un plan d'expérience 91
3.2.4 Plans d'expérience usuels 92
3.3 Plans factoriels complets 94
3.3.1 Définition 94
3.3.2 Propriétés 96
3.3.3 Intérêt des réplications centrales 97
3.4 Fractions régulières de plans factoriels 98
3.4.1 Exemple 98
3.4.2 Contrastes et produit d'Hadamard 99
3.4.3 Générateurs d'une fraction régulière 101
3.4.4 Fractions régulières de résolution III 104
3.4.5 Taille des plans factoriels 105
3.5 Plans simplexes 106
3.5.1 Définition 106
3.5.2 Propriétés 108
3.6 Plans de Plackett et Burman 109
3.6.1 Définition 109
3.6.2 Propriétés 111
3.7 Exemple d'application 111
3.8 Résumé 118
3.9 (Compléments) Démonstrations 121
4 Plans d'expérience pour modèles à effets d'interactions 127
4.1 Introduction 127
4.2 Généralités 128
4.2.1 Modèle utilisé 128
4.2.2 Plans d'expérience usuels 129
4.3 Plans factoriels complets 130
4.4 Fractions régulières de plans factoriels 132
4.4.1 Fractions régulières de résolution V 132
4.4.2 Taille des plans factoriels 133
4.5 Généralisation à des interactions quelconques 134
4.5.1 Modèle à effets d'interactions d'ordre 3 134
4.5.2 Modèle contenant tous les effets d'interactions 137
4.5.3 Application aux fractions de résolution III 139
4.6 Utilisation de modèles incomplets 141
4.7 Exemple d'application 145
4.8 Résumé 155
4.9 (Compléments) Démonstrations 159
5 Plans d'expérience pour surfaces de réponse 163
5.1 Introduction 163
5.2 Généralités 164
5.2.1 Modèle utilisé 164
5.2.2 Plans d'expérience usuels 165
5.2.3 Inversion de la matrice des moments d'un plan usuel 166
5.2.4 Estimations et prédictions 167
5.2.5 Isovariance par transformations orthogonales 168
5.2.6 Graphes des variances extrêmes 170
5.3 Plans composites centrés 173
5.3.1 Définition 173
5.3.2 Propriétés 174
5.3.3 Intérêt des réplications centrales 178
5.3.4 Plans composites centrés de petite taille 180
5.3.5 Taille des plans composites centrés 181
5.4 Plans de Box et Behnken 182
5.4.1 Définition 182
5.4.2 Propriétés 184
5.5 Plans simplexes augmentés 185
5.5.1 Définition 185
5.5.2 Propriétés 187
5.6 Plans hybrides 188
5.6.1 Définition 188
5.6.2 Propriétés 190
5.7 Exemple d'application 192
5.8 Résumé 200
5.9 (Compléments) Résultats théoriques 205
5.9.1 Quelques résultats de calcul matriciel 205
5.10 (Compléments) Démonstrations 206
6 Plans d'expérience en blocs 215
6.1 Introduction 215
6.2 Généralités 216
6.2.1 Modèle utilisé 216
6.2.2 Plans d'expérience usuels 218
6.2.3 Inversion de la matrice des moments généralisée 220
6.2.4 Estimations et prédictions 220
6.2.5 Comparaison des effets de blocs 223
6.3 Plans bloqués orthogonalement 224
6.3.1 Définition 224
6.3.2 Reconstruction de l'information 225
6.3.3 Isovariance par transformations orthogonales 226
6.3.4 Une méthode universelle de blocage orthogonal 228
6.4 Exemples de constructions 229
6.4.1 Plans composites centrés 229
6.4.2 Plans de Box et Benkhen 233
6.4.3 Plans hybrides 235
6.5 Exemple d'application 236
6.6 Résumé 244
6.7 (Compléments) Démonstrations 251
7 Plans d'expérience pour mélanges 261
7.1 Introduction 261
7.2 Généralités 262
7.2.1 Hypothèses fondamentales 262
7.2.2 Représentation graphique d'un mélange 262
7.2.3 Notation standard des réponses 265
7.3 Modèles pour mélanges 266
7.3.1 Modèle d'ordre un 266
7.3.2 Modèle d'ordre deux 267
7.3.3 Modèle d'ordre trois complet 269
7.3.4 Modèle synergique d'ordre trois 270
7.3.5 Modèle synergique d'ordre quelconque 272
7.3.6 Résumé 273
7.3.7 Analyse de la variance 274
7.4 Réseaux de Scheffé 275
7.4.1 Définition 275
7.4.2 Ajustement de divers modèles 276
7.5 Réseaux de Scheffé centrés 279
7.5.1 Définition 279
7.5.2 Ajustement d'un modèle synergique 281
7.6 Autres plans pour mélanges 282
7.6.1 Réseaux de Scheffé déséquilibrés 282
7.6.2 Autres types de plans d'expérience 283
7.7 Introduction d'effets de blocs 284
7.7.1 Modèle à effets de blocs 284
7.7.2 Singularité liée au modèle 285
7.7.3 Plans bloqués orthogonalement 286
7.7.4 Estimation des effets de blocs 287
7.8 Exemple d'application 288
7.9 Résumé 296
7.10 (Compléments) Résultats théoriques 299
7.10.1 Ajustement d'un modèle synergique 299
7.11 (Compléments) Démonstrations 301
Partie III Plans d'expérience pour facteurs qualitatifs 312
8 Plans d'expérience pour facteurs qualitatifs 313
8.1 Introduction 313
8.2 Généralités 314
8.2.1 Codage des facteurs qualitatifs 314
8.2.2 Notation standard des réponses 315
8.2.3 Matrice d'incidence 316
8.2.4 Modèle additif 318
8.2.5 Contraintes d'identification 319
8.2.6 Application au modèle additif 320
8.2.7 Plan d'expérience orthogonal 321
8.2.8 Propriétés des plans orthogonaux 322
8.2.9 Analyse de la variance 323
8.3 Plans factoriels complets 324
8.3.1 Définition 324
8.3.2 Propriétés 325
8.4 Fractions régulières de plans factoriels 326
8.4.1 Cas particulier des facteurs à deux modalités 327
8.4.2 Cas général 329
8.4.3 Générateurs d'une fraction régulière 331
8.4.4 Fractions régulières de résolution III 333
8.5 Autres types de plans fractionnaires 334
8.5.1 Existence de plans orthogonaux de petite taille 334
8.5.2 Fractions pour nombre de modalités non premier 336
8.5.3 Fractions asymétriques 338
8.6 Plans en carrés latins 340
8.6.1 Utilisation de carrés latins 340
8.6.2 Utilisation de carrés gréco-latins 342
8.6.3 Utilisation de carrés hyper-gréco-latins 345
8.7 Autres types de plans d'expérience 346
8.7.1 Tables de Taguchi 346
8.7.2 Transformations conservant l'orthogonalité 347
8.7.3 Plans produit 349
8.7.4 Tableaux orthogonaux 350
8.7.5 Plans obtenus numériquement 351
8.8 Introduction d'effets d'interaction 352
8.9 Exemple d'application 355
8.10 Résumé 361
8.11 (Compléments) Démonstrations 365
9 Plans d'expérience en blocs pour facteurs qualitatifs 372
9.1 Introduction 372
9.2 Généralités 373
9.2.1 Modèle pour plans en blocs 373
9.2.2 Matrices et valeurs remarquables 374
9.2.3 Contraintes d'identification 376
9.2.4 Equations normales 376
9.3 Plans en blocs complets 380
9.3.1 Définition et propriétés 380
9.3.2 Estimation des divers effets 381
9.4 Plans en blocs incomplets équilibrés 383
9.4.1 Définition et propriétés 383
9.4.2 Estimation des divers effets 385
9.4.3 Construction des BIBD 387
9.5 Plans en blocs partiellement équilibrés 389
9.5.1 Définition et propriétés 389
9.5.2 Estimation des divers effets 391
9.5.3 Construction des GDD 394
9.5.4 Généralisations 395
9.6 Plans cycliques 397
9.6.1 Définition 397
9.6.2 Propriétés 398
9.7 Exemple d'application 399
9.8 Résumé 403
9.9 (Compléments) Résultats théoriques 408
9.9.1 Analyse d'un plan cyclique 408
9.10 (Compléments) Démonstrations 411
Partie IV Optimalité des plans d'expérience 423
10 Critères d'optimalité 424
10.1 Introduction 424
10.2 Rappels et compléments 425
10.2.1 Ensembles ordonnés 425
10.2.2 Ordres sur les vecteurs 425
10.2.3 Matrice d'information 428
10.2.4 Complément d'analyse spectrale 433
10.3 Optimalité uniforme 434
10.3.1 Exemple introductif 434
10.3.2 Extension au cas vectoriel 435
10.3.3 Propriétés 436
10.3.4 Généralisation 438
10.4 Critères d'efficacité 440
10.4.1 Généralités et hypothèses 440
10.4.2 Le critère de A-efficacité 441
10.4.3 Le critère de D-efficacité 442
10.4.4 Le critère de E-efficacité 443
10.4.5 Le critère général de q-efficacité 444
10.4.6 Propriétés 445
10.4.7 Caractérisation des plans d'expérience q-optimaux 447
10.4.8 Plans q-optimaux obtenus numériquement 450
10.5 Optimalité universelle 452
10.5.1 Définition 452
10.5.2 Propriétés 454
10.6 Exemples d'applications 455
10.6.1 Plans optimaux pour modèles d'ordre un 456
10.6.2 Plans optimaux pour modèles avec interactions 457
10.6.3 Plans optimaux pour surfaces de réponse 458
10.6.4 Plans optimaux pour modèles à effets de blocs 463
10.6.5 Plans optimaux pour modèles à facteurs qualitatifs 464
10.7 Résumé 467
10.8 (Compléments) Démonstrations 472
Partie V Annexes 490
A Plans factoriels et représentation linéaire des groupes 491
A.1 Représentation linéaire des groupes finis 491
A.2 Application aux plans à deux niveaux 494
A.2.1 Cas des plans factoriels complets 494
A.2.2 Cas des fractions régulières 498
A.3 Généralisation 501
A.3.1 Cas des plans factoriels complets 502
A.3.2 Cas des fractions régulières 506
B Plans d'expérience classiques 512
B.1 Plans factoriels complets 512
B.2 Fractions régulières de plans complets 513
B.3 Plans simplexes 513
B.4 Plans de Plackett et Burman 514
B.5 Plans composites centrés 514
B.6 Plans de Box et Behnken 515
B.7 Plans simplexes augmentés 515
B.8 Plans hybrides 516
B.9 Réseaux de Scheffé 517
B.10 Réseaux de Scheffé centrés 517
B.11 Plans factoriels complets pour facteurs qualitatifs 518
B.12 Fractions régulières de plans complets pour facteurs qualitatifs 518
B.13 Plans en carrés latins 519
B.14 Tables de Taguchi 520
B.15 Plans en blocs complets 521
B.16 Plans en blocs incomplets équilibrés 521
B.17 Plans en blocs partiellement équilibrés 521
C Notations utilisées 523
Bibliographie 526
Index 533

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 10.3.2010
• Reihe/Serie: Mathématiques et Applications
• Reihe/Serie: Mathématiques et Applications
• Zusatzinfo: XV, 532 p. 38 ill.
• Verlagsort: Berlin
• Sprache: französisch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Statistik
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Wahrscheinlichkeit / Kombinatorik
• Themenwelt: Naturwissenschaften
• Themenwelt: Technik
• Schlagworte: facteurs qualitatifs • facteurs quantitatifs • Information • mélanges • Model • optimalité • plan d' expérience
• ISBN-13: 9783642114724 / 9783642114724