GAMMA
Springer Berlin (Verlag)
978-3-540-48495-0 (ISBN)
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Jeder kennt p = 3,14159…, viele kennen e = 2,71828…, einige i. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156… - benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Bis heute ist unbekannt, ob g eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet die "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer und Jeeps in der Wüste. Besser kann man nicht über Mathematik schreiben. Was Julian Havil dazu zu sagen hat, ist spektakulär.
Prof. Julian Havil, University of Winchester, United Kingdom
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Vorwort des Übersetzers
Danksagungen
Einleitung
1 Die logarithmische Wiege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Ein mathematischer Albtraum – und ein Erwachen . . . . . . . . . 7
1.2 Des Barons wunderbarer Kanon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Ein Hauch Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Ein Hauch Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Weitere Ideen Napiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Die harmonische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Eine erzeugende Funktion für Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Drei überraschende Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Subharmonische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Ein gemächlicher Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Harmonische Primzahlreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Die Kempnerreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Die Madelungschen Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Zeta-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 Mit einer positiven ganzen Zahl n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Mit einer reellen Zahl x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Zwei abschließende Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Der Geburtsort von Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.1 Ankunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Niederkunft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Die Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 Exotische Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 . . . weitere sinnvolle Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Gamma trifft Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Komplement und Schönheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Eulers wunderbare Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.1 Die Formel, auf die es ankommt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.2 . . . und ein Hinweis auf ihre Nützlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8 Ein erfülltes Versprechen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9 Was ist Gamma . . . exakt? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.1 Gamma existiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.2 Gamma ist . . . was für eine Zahl? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.3 Eine überraschend gute Verbesserung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.4 Der Ursprung einer großen Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10 Gamma als Dezimalbruch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.1 Die Bernoullischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.2 Die Euler–Maclaurinsche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.3 Zwei Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.4 Die Implikationen für Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11 Gamma als rationaler Bruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.1 Ein Rätsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.2 Ein Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.3 Eine Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.4 Drei Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.5 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.6 Lösungen der Pellschen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.7 Lückenfüller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.8 Die harmonische Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12 Wo ist Gamma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.1 Nochmals zur alternierenden harmonischen Reihe . . . . . . . . . . . 119
12.2 In der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
12.3 In der Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.4 Bei Vermutungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.5 Bei Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13 Die Welt ist harmonisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.2 Geometrische Harmonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.3 Musikalische Harmonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.4 Rekorde und Aufzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
13.5 Zerstörungsprüfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.6 Durchqueren der Wüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.7 Kartenmischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.8 Quicksort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
13.9 Sammeln einer vollständigen Menge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
13.10 Eine Putnam-Preis-Frage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13.11 Maximal möglicher Überhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13.12 Wurm auf einem Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
13.13 Optimale Auswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14 Die Welt ist logarithmisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.1 Ein Maß für die Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.2 Das Benfordsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.3 Kettenbruchverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
15 Probleme mit Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.1 Einige schwierige Fragen zu Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.2 Ein bescheidener Start . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
15.3 Eine Art Antwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
15.4 Veranschauliche das Problem! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
15.5 Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
15.6 Heuristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
15.7 Ein Brief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
15.8 Die harmonische Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.9 Verschieden – und doch gleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
15.10 Es sind wirklich nur zwei Fragen und nicht drei . . . . . . . . . . . . 210
15.11 Tschebyschew ist mit guten Einfällen zur Stelle . . . . . . . . . . . . 211
15.12 Riemann tritt ein, Beweise folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
16 Die Riemannsche Initiative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
16.1 Zählen der Primzahlen mit Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
16.2 Ein neues mathematisches Werkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
16.3 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
16.4 Riemanns Verallgemeinerung der Zeta-Funktion . . . . . . . . . . . . 223
16.5 Eine Funktionalgleichung für Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
16.6 Die Nullstellen von Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
16.7 Die Berechnung von ¦(x) und ¼(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
16.8 Irreführende Spuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
16.9 Von Mangoldts explizite Formel und der Primzahlsatz . . . . . . . 231
16.10 Die Riemannsche Vermutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
16.11 Warum ist die Riemannsche Vermutung wichtig? . . . . . . . . . . . 236
16.12 Reelle Alternativen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.13 Ein indirekter Weg zur Unsterblichkeit – teilweise verschlossen239
16.14 Ansporn – damals und heute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
16.15 Fortschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
A Das griechische Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
B Die Größenordnung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
C Taylorentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
C.1 Grad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
C.2 Grad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
C.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
C.4 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
D Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
D.1 Komplexe Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
D.2 Die Weierstraßsche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
D.3 Komplexe Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
D.4 Komplexe Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
D.5 Eine nützliche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
D.6 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
D.7 Ein folgenreiches Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
D.8 Eine erstaunliche Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
D.9 Taylorreihen – und eine wichtige Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . 275
D.10 Laurentreihen – und eine weitere wichtige Folgerung . . . . . . . . 278
D.11 Residuenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
D.12 Analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
E Anwendung auf die Zeta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
E.1 Analytische Fortsetzung von Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
E.2 Funktionalgleichung für Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
| Übersetzer | Manfred Stern |
|---|---|
| Sprache | deutsch |
| Gewicht | 605 g |
| Einbandart | gebunden |
| Themenwelt | Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Allgemeines / Lexika |
| Schlagworte | Euler, Leonhard • Primzahl • Riemannsche Vermutung |
| ISBN-10 | 3-540-48495-7 / 3540484957 |
| ISBN-13 | 978-3-540-48495-0 / 9783540484950 |
| Zustand | Neuware |
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