Algebra
Springer (Verlag)
978-3-662-63777-7 (ISBN)
- Entwickelt die Grundbegriffe und wesentlichen Aussagen der Algebra bis hin zur Galoistheorie Schritt für Schritt
- Enthält eine Vielzahl von motivierenden Zwischenerklärungen und regt zum Selbstdenken an
- Zeigt die Wirkungskraft der Theorie an vielen konkreten Beispielen
Dieses Buch beinhaltet die Grundlagen der Algebra.
Neben den elementaren algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper wird insbesondere die Galoistheorie zusammen mit ihren Anwendungen auf die Kreisteilungskörper, die endlichen Körper oder die Frage nach der Auflösung von Polynomgleichungen entwickelt.
Besonderes Augenmerk wird dabei auf die natürliche Entwicklung der Inhalte gelegt. Zahlreiche Zwischenerklärungen unterstützen diese Grundidee, zeigen Verbindungen auf und helfen, die zu Grunde liegenden Konzepte besser zu durchdringen.
Das Buch eignet sich deshalb im Besonderen, die Algebra im Selbststudium oder begleitend zu Online-Vorlesungen zu erlernen.
Prof. Dr. Marco Hien war nach einem Postdoc-Jahr an der University of Chicago zunächst an der Universität Regensburg tätig. Seit 2010 ist er Professor für Algebra und Zahlentheorie an der Universität Augsburg mit den Forschungsgebieten Algebraische Geometrie und algebraische Analysis. 2020 erhielt er den "Preis für gute Lehre" des Wissenschaftsministeriums Bayern.
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Voraussetzungen
1.1 Ziele
1.2 Voraussetzungen
2 Körpererweiterungen und algebraische Elemente
2.1 Körpererweiterungen
2.2 Zwischenkörper und algebraische ElementeAufgaben
3 Gruppen
3.1 Allgemeine Definition und Folgerungen
3.2 Untergruppen und GruppenhomomorphismenAufgaben
4 Gruppenquotienten und Normalteiler
4.1 Äquivalenzrelationen
4.2 Gruppenquotienten
4.3 Der Satz von Lagrange
4.4 Normalteiler und Faktorgruppen
4.5 Der Homomorphiesatz für Gruppen
4.6 Endliche zyklische GruppenAufgaben
5 Ringe und Ideale
5.1 Kommutative Ringe mit Eins
5.2 Ringhomomorphismen
5.3 Einheiten und Nullteiler
5.4 Ideale, Faktorringe und der Homomorphiesatz
5.5 Primideale und maximale Ideale
5.6 Der chinesische Restsatz
5.7 Beispiele von Ringen in quadratischen ZahlkörpernAufgaben
6 Euklidische Ringe, Hauptidealringe, Noethersche Ringe
6.1 Euklidische Ringe
6.2 Der euklidische Algorithmus
6.3 Noethersche RingeAufgaben
7 Faktorielle Ringe
7.1 Primelemente und irreduzible Elemente, faktorielle Ringe
7.2 EigenschaftenAufgaben
8 Quotientenkörper für IntegritätsbereicheAufgaben
9 Irreduzible Polynome in faktoriellen Ringen
9.1 Inhalt von Polynomen
9.2 Reduktion modulo Primelement
9.3 Das Gauß Lemma
9.4 Anwendung der Reduktion mod ? und Satz von GaußAufgaben
10 Galoistheorie (I) – Satz A und seine Variante A’
10.1 Die wundersame Körperschaffung
10.2 Der Zerfällungskörper
10.3 Der Satz A und A’
10.4 Anwendung im Körperturm
10.5 Die GaloisgruppeAufgaben
11 Intermezzo – explizites Beispiel ^
5 ���� 777^ ¸ 7Aufgaben
12 Normale Körpererweiterungen
12.1 Algebraischer Abschluss
12.2 Fortsetzung von Körperhomomorphismen
12.3 Normale ErweiterungenAufgaben
13 Separabilität
13.1 Motivation und Definition
13.2 Formale Ableitung
13.3 Charakteristik eines Körpers und Separabilität
13.4 Der Separabilitätsgrad
13.5 Der Satz vom primitiven ElementAufgaben
14 Galoistheorie (II) – der Hauptsatz
14.1 Der Hauptsatz – Statement
14.2 Ausblick auf eine Anwendung – Mitternachtsformel für alle Grade?
14.3 Beweis des Hauptsatzes
14.4 Beweis des ZusatzesAufgaben
15 Kreisteilungskörper
15.1 Einheitswurzeln
15.2 Kreisteilungskörper und -polynomeAufgaben
16 Endliche Körper
16.1 Primkörper, endliche Körper und der Frobenius
16.2 Endliche KörperAufgaben
17 Mehr Gruppentheorie – Gruppenoperationen und Sylow
17.1 Gruppenoperationen
17.2 Die Sylowsätze
17.3 Anwendungen der Sylowsätze und übliche Tricks
17.4 Beweis der SylowsätzeAufgaben
18 Auflösbarkeit von Polynomgleichungen
18.1 Auflösbare Gruppen
18.2 Auflösung von Polynomgleichungen durch Radikale
18.3 Die allgemeine Gleichung =-ten GradesAufgabenA Beweis der Existenz eines algebraischen Abschlusses B Tricks und Methoden, um Gruppen einer vorgegebenen Ordnung zu klassifizierenB.
1 Standardargumente und BeispieleB.
2 Explizite BeispieleSachverzeichnis
"... Das Lehrwerk vermittelt die Grundlagen der Algebra unter besonderer Berücksichtigung und Darstellung der logischen Entwicklung der Fragestellungen und Inhalte und ist der Zielgruppe auch etwa neben den umfassenderen und zugleich auf weiterführenden Vorlesungen der Algebra vorbereitenden Standardwerken von Christian Karpfinger: "Algebra" (zuletzt ID-G 42/17) oder Siegfried Bosch: "Algebra" (zuletzt ID-G 50/03) dienlich." (Philipp Kastendieck, in: ekz-Informationsdienst, Heft 1, 2022)
| Erscheinungsdatum | 21.10.2021 |
|---|---|
| Zusatzinfo | XIII, 348 S. 12 Abb. |
| Verlagsort | Berlin |
| Sprache | deutsch |
| Maße | 155 x 235 mm |
| Gewicht | 557 g |
| Einbandart | kartoniert |
| Themenwelt | Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Algebra |
| Schlagworte | Galoistheorie • Gruppen • Körrper • Lehrbuch • Prüfungsvorbereitung • Ringe |
| ISBN-10 | 3-662-63777-4 / 3662637774 |
| ISBN-13 | 978-3-662-63777-7 / 9783662637777 |
| Zustand | Neuware |
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