Analysis III

Herbert Amann, Joachim Escher (Autoren)

Buch | Softcover

2001 | Softcover reprint of the original 1st ed. 2001
Springer Basel (Verlag)
978-3-7643-6613-1 (ISBN)

Titel erscheint in neuer Auflage

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Der vorliegende dritte Band beschlieBt unsere EinfUhrung in die Analysis, mit der wir ein Fundament fUr den weiteren Aufbau des Mathematikstudiums gelegt haben. Wie schon in den ersten beiden Teilen haben wir auch hier wesentlich mehr Stoff behandelt, als dies in einem Kurs geschehen kann. Bei der Vorbereitung von Vorlesungen ist deshalb eine geeignete Stoffauswahl zu treffen, auch wenn die Lehrveranstaltungen durch Seminare erganzt und vertieft werden. Anhand der ausfiihrlichen Inhaltsangabe und der Einleitungen zu den einzelnen Kapiteln kann ein rascher Uberblick Uber den dargebotenen Stoff gewonnen werden. Das Buch ist insbesondere auch als BegleitlektUre zu Vorlesungen und fUr das Selbststudium geeignet. Die zahlreichen Ausblicke auf weiterfUhrende Theorien sollen Neugierde wecken und dazu animieren, im Verlaufe des weiteren Studiums tiefer einzudringen und mehr von der Schonheit und GroBe des mathematischen Gebaudes zu erfahren. Beim Verfassen dieses Bandes konnten wir wieder auf die unschatzbare Hil fe von Freunden, Kollegen, Mitarbeitern und Studenten ziihlen. Ganz besonders danken wir Georg Prokert, Pavol Quittner, Olivier Steiger und Christoph Wal ker, die den gesamten Text kritisch durchgearbeitet und uns so geholfen haben, Fehler zu eliminieren und substantielle Verbesserungen anzubringen. Unser Dank gilt auch Carlheinz Kneisel und Bea Wollenmann, die ebenfalls groBere Teile des Manuskripts gelesen und uns auf Ungereimtheiten hingewiesen haben.

IX Elemente der Maßtheorie.- 1 Meßbare Räume.- ?-Algebren.- Die Borelsche ?-Algebra.- Das zweite Abzählbarkeitsaxiom.- Erzeugung der Borelschen ?-Algebra durch Intervalle.- Basen topologischer Räume.- Die Produkttopologie.- Produkte Borelscher ?-Algebren.- Die Meßbarkeit von Schnitten.- 2 Maße.- Mengenfunktionen.- Maßräume.- Eigenschaften von Maßen.- Nullmengen.- 3 Äußere Maße.- Die Konstruktion äußerer Maße.- Das Lebesguesche äußere Maß.- Lebesgue-Stieltjessche äußere Maße.- Hausdorffsche äußere Maße.- 4 Meßbare Mengen.- Motivation.- Die ?-Algebra der ?* -meßbaren Mengen.- Lebesguesche und Hausdorffsche Maße.- Metrische Maße.- 5 Das Lebesguesche Maß.- Der Lebesguesche Maßraum.- Die Regularität des Lebesgueschen Maßes.- Eine Charakterisierung Lebesgue meßbarer Mengen.- Bilder Lebesgue meßbarer Mengen.- Die Translationsinvarianz des Lebesgueschen Maßes.- Eine Charakterisierung des Lebesgueschen Maßes.- Die Bewegungsinvarianz des Lebesgueschen Maßes.- Der spezielle Transformationssatz.- Nicht Lebesgue meßbare Mengen.- X Integrationstheorie.- 1 Meßbare Funktionen.- Einfache und meßbare Funktionen.- Ein Meßbarkeitskriterium.- Meßbare numerische Funktionen.- Der Verband der meßbaren numerischen Funktionen.- Punktweise Grenzwerte meßbarer Funktionen.- Radonmaße.- 2 Integrierbare Funktionen.- Das Integral für einfache Funktionen.- Die ?1-Seminorm.- Das Bochner-Lebesguesche Integral.- Die Vollständigkeit von ?1.- Elementare Eigenschaften des Integrals.- Konvergenz in ?1.- 3 Konvergenzsätze.- Integration nichtnegativer numerischer Funktionen.- Der Satz über die monotone Konvergenz.- Das Lemma von Fatou.- Integration numerischer Funktionen.- Der Satz von Lebesgue.- Parameterintegrale.- 4 Die Lebesgueschen Räume.- Wesentlich beschränkte Funktionen.- Die Höldersche und die Minkowskische Ungleichung.- Die Vollständigkeit der Lebesgueschen Räume.- Lp-Räume.- Stetige Funktionen mit kompaktem Träger.- Einbettungen.- Stetige Linearformen auf Lp.- 5 Das n-dimensionale Bochner-Lebesguesche Integral.- Lebesguesche Maßräume.- Das Lebesguesche Integral für absolut integrierbare Funktionen.- Eine Charakterisierung Riemann integrierbarer Funktionen.- 6 Der Satz von Fubini.- Fast-überall definierte Abbildungen.- Das Cavalierische Prinzip.- Anwendungen des Cavalierischen Prinzips.- Der Satz von Tonelli.- Der Satz von Fubini für skalare Funktionen.- Der Satz von Fubini für vektorwertige Funktionen.- Die Minkowskische Ungleichung für Integrale.- Eine Charakterisierung von Lp(?m+n, E).- Ein Spursatz.- 7 Die Faltung.- Die Definition der Faltung.- Translationsgruppen.- Elementare Eigenschaften der Faltung.- Approximative Einheiten.- Testfunktionen.- Glatte Zerlegungen der Eins.- Faltungen E-wertiger Funktionen.- Distributionen.- Lineare Differentialoperatoren.- Schwache Ableitungen.- 8 Der Transformationssatz.- Inverse Bilder des Lebesgueschen Maßes.- Der allgemeine Transformationssatz.- Ebene Polarkoordinaten.- n-dimensionale Polarkoordinaten.- Integration rotationssymmetrischer Funktionen.- Der Transformationssatz für vektorwertige Funktionen.- 9 Die Fouriertransformation.- Definition und elementare Eigenschaften.- Der Raum der schnell fallenden Funktionen.- Die Faltungsalgebra S.- Rechenregeln.- Der Fouriersche Integralsatz.- Faltungen und Fouriertransformationen.- Fouriermultiplikationsoperatoren.- Der Satz von Plancherel.- Symmetrische Operatoren.- Die Heisenbergsche Unschärferelation.- XI Mannigfaltigkeiten und Differentialformen.- 1 Untermannigfaltigkeiten.- Definitionen und element are Eigenschaften.- Submersionen.- Berandete Untermannigfaltigkeiten.- Lokale Karten.- Tangenten und Normalen.- Der Satz vom regulären Wert.- Eindimensionale Mannigfaltigkeiten.- Zerlegungen der Eins.- 2 Multilineare Algebra.- Äußere Produkte.- Rücktransformationen.- Das Volumenelement.- Der Rieszsche Isomorphismus.- Der Hodgesche Sternoperator.- Indefinite innere Produkte.- Tensoren.- 3 Die lokale Theorie der Differentialformen.- Definitionen und Basisdarstellungen.- Rücktransformationen.- Die äußere Ableitung.- Das Lemma von Poincaré.- Tensoren.- 4 Vektorfelder und Differentialformen.- Vektorfelder.- Lokale Basisdarstellungen.- Differentialformen.- Lokale Darstellungen.- Koordinatentransformationen.- Die äußere Ableitung.- Geschlossene und exakte Formen.- Kontraktionen.- Orientierbarkeit.- Tensorfelder.- 5 Riemannsche Metriken.- Das Volumenelement.- Riemannsche Mannigfaltigkeiten.- Der Sternoperator.- Die Koableitung.- 6 Vektoranalysis.- Der Rieszsche Isomorphismus.- Der Gradient.- Die Divergenz.- Der Laplace-Beltrami Operator.- Die Rotation.- Die Lie-Ableitung.- Der Hodge-Laplace Operator.- Das Vektorprodukt und die Rotation.- XII Integration auf Mannigfaltigkeiten.- 1 Volumenmaße.- Die Lebesguesche ?-Algebra von M.- Die Definition des VolumenMaßes.- Eigenschaften.- Integrierbarkeit.- Berechnung einiger Volumina.- 2 Integration von Differentialformen.- Integrale von m-Formen.- Restriktionen auf Untermannigfaltigkeiten.- Der Transformationssatz.- Der Satz von Fubini.- Berechnung einiger Integrale.- Flüsse von Vektorfeldern.- Das Transporttheorem.- 3 Der Satz von Stokes.- Der Stokessche Satz für glatte Mannigfaltigkeiten.- Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten.- Der Stokessche Satz mit Singularitäten.- Ebene Gebiete.- Höherdimensionale Probleme.- Homotopieinvarianz und Anwendungen.- Der Gaußsche Integralsatz.- Die Greenschen Formeln.- Der klassische Stokessche Satz.- Der Sternoperator und die Koableitung.

Erscheint lt. Verlag	1.10.2001
Reihe/Serie	Grundstudium Mathematik
Verlagsort	Basel
Sprache	deutsch
Maße	170 x 244 mm
Gewicht	935 g
Themenwelt	Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Analysis
Schlagworte	Analysis • Analysis; Hand-/Lehrbücher • Globale Analysis • HC/Mathematik/Analysis • Integrationstheorie
ISBN-10	3-7643-6613-3 / 3764366133
ISBN-13	978-3-7643-6613-1 / 9783764366131
Zustand	Neuware