Éléments de Géométrie Rigide (eBook)

Volume I. Construction et Étude Géométrique des Espaces Rigides

Ahmed Abbes (Autor)

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2010 | 2011
XV, 496 Seiten
Springer Basel (Verlag)
978-3-0348-0012-9 (ISBN)

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La géométrie rigide est devenue, au fil des ans, un outil indispensable dans un grand nombre de questions en géométrie arithmétique. Depuis ses premières fondations, posées par J. Tate en 1961, la théorie s'est développée dans des directions variées. Ce livre est le premier volume d'un traité qui expose un développement systématique de la géométrie rigide suivant l'approche de M. Raynaud, basée sur les schémas formels à éclatements admissibles près. Ce volume est consacré à la construction des espaces rigides dans une situation relative et à l'étude de leurs propriétés géométriques. L'accent est particulièrement mis sur l'étude de la topologie admissible d'un espace rigide cohérent, analogue de la topologie de Zariski d'un schéma. Parmi les sujets traités figurent l'étude des faisceaux cohérents et de leur cohomologie, le théorème de platification par éclatements admissibles qui généralise au cadre formel-rigide un théorème de Raynaud-Gruson dans le cadre algébrique, et le théorème de comparaison du type GAGA pour les faisceaux cohérents. Ce volume contient aussi de larges rappels et compléments de la théorie des schémas formels de Grothendieck. Ce traité est destiné tout autant aux étudiants ayant une bonne connaissance de la géométrie algébrique et souhaitant apprendre la géométrie rigide qu'aux experts en géométrie algébrique et en théorie des nombres comme source de références.

Ahmed Abbes is director of research at the CNRS, Rennes University.

Inhalt

Table des matières 7
Préface par Michel Raynaud 10
Avant-propos 13
Introduction 14
Chapitre 1 Préliminaires 22
1.1 Des catégories et des topos 22
1.2 Scholie sur le morphisme de changement de base 27
1.3 Rappels sur les modules cohérents 33
1.4 Modules cohérents sur un schéma 37
1.5 Rappels sur l’assassin et la pureté 39
1.6 Rappels sur les idéaux de coefficients 43
1.7 Rappels sur les idéaux de Fitting 44
1.8 Rappels d’algèbre topologique 46
1.9 Anneaux valuatifs 57
1.10 Anneaux idylliques 62
1.11 Ordres 1-valuatifs 66
1.12 Compléments sur la platitude 69
1.13 Rappels et compléments sur la platification par éclatements 78
1.14 Propriétés différentielles des anneaux idylliques 84
1.15 Couples henséliens idylliques 90
1.16 Approximation algébrique 95
1.17 Compléments d’algèbre homologique 122
Chapitre 2 Géométrie formelle 127
2.1 Rappels et compléments sur les schémas formels 127
2.2 Morphismes déployés et morphismes adiques 136
2.3 Conditions de finitude relatives 141
2.4 Morphismes lisses, morphismes non ramifiés, morphismes étales 149
2.5 Complété formel d’un schéma le long d’un sous-schéma 154
2.6 Schémas formels idylliques 159
2.7 Modules cohérents sur les schémas formels affines globalement idylliques 165
2.8 Modules cohérents sur les schémas formels idylliques 168
2.9 Sous-schémas des schémas formels idylliques 173
2.10 Clôture rigide d’un module 177
2.11 Étude cohomologique des faisceaux cohérents 192
2.12 Théorème de comparaison de la théorie “algébrique” à la théorie “formelle” 198
2.13 Un théorème d’existence de faisceaux algébriques cohérents 201
2.14 Invariants normaux d’une immersion 203
2.15 Invariants différentiels fondamentaux d’un morphisme 208
2.16 Dérivations et déformations infinitésimales 213
Chapitre 3 Éclatements admissibles 222
3.1 Éclatements admissibles 222
3.2 Dilatations 231
3.3 Points rigides d’un schéma formel idyllique 235
3.4 Disques et couronnes formels 241
3.5 Le théorème d’acyclicité de Tate 243
Chapitre 4 Géométrie rigide 252
4.1 Espaces rigides cohérents la catégorie de Raynaud
4.2 Morphismes d’espaces rigides cohérents 260
4.3 La topologie admissible 265
4.4 Site et topos admissibles d’un espace rigide cohérent 270
4.5 Le topos admissible comme limite projective d’un topos fibré 273
4.6 Applications : I. Fonctorialité des topos admissibles 284
4.7 Applications : II. Fibre rigide d’un module 294
4.8 Modules cohérents sur les espaces rigides cohérents 308
4.9 Dimension d’un espace rigide cohérent 325
Chapitre 5 Platitude 331
5.1 Modules cohérents plats sur les schémas formels idylliques 332
5.2 Dévissage relatif 337
5.3 Critère de platitude 344
5.4 Modules cohérents rig-plats sur les schémas formels idylliques 350
5.5 Rig-platitude et morphismes de topos annelés 356
5.6 Idéaux de coefficients 363
5.7 Platification par éclatements admissibles dans un cas particulier 369
5.8 Platification par éclatements admissibles 372
5.9 Dimension relative d’un module cohérent 378
5.10 Platitude en géométrie rigide 383
5.11 Descente fidèlement plate des modules cohérents 387
5.12 Descente fidèlement plate des morphismes 394
Chapitre 6 Invariants différentiels. Morphismes lisses 397
6.1 Invariants normaux d’une immersion 397
6.2 Invariants différentiels fondamentaux d’un morphisme 403
6.3 Dérivations et déformations infinitésimales 407
6.4 Morphismes lisses, morphismes non ramifiés, morphismes étales 411
Chapitre 7 Espaces rigides quasi-séparés 423
7.1 Espaces rigides quasi-séparés 424
7.2 Morphismes d’espaces rigides quasi-séparés 431
7.3 Site et topos admissibles d’un espace rigide quasi-séparé 437
7.4 Géométrie algébrique et géométrie rigide 447
7.5 Hensélisation et géométrie rigide 461
7.6 Topos de Zariski et topos admissible 467
Bibliographie 474
Index 477

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 13.12.2010
• Reihe/Serie: Progress in Mathematics
• Reihe/Serie: Progress in Mathematics
• Zusatzinfo: XV, 496 p.
• Verlagsort: Basel
• Sprache: französisch
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Geometrie / Topologie
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik ► Statistik
• Themenwelt: Technik
• Schlagworte: Algebraic Geometry • Number Theory • rigid analytic geometry
• ISBN-10: 3-0348-0012-6 / 3034800126
• ISBN-13: 978-3-0348-0012-9 / 9783034800129