Abenteuer Mathematik (eBook)

Brücken zwischen Wirklichkeit und Fiktion

Pierre Basieux (Autor)

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2012 | 5. Aufl. 2011
XXVI, 394 Seiten
Spektrum Akademischer Verlag
978-3-8274-2885-1 (ISBN)

Infos

Nicht Mathematik zu betreiben, sondern zu erfahren ist das Abenteuer, das dieses Buch bietet - Denkexpeditionen, deren Ausgangspunkt Fragen sind: Was steckt hinter mathematischen Fiktionen wie den unendlich vielen Stufen des Unendlichen oder dem Letzten Fermatschen Satz? Worin liegt ihre Schönheit, worin ihr Bezug zur Realität? Welchen Köpfen sind solche Ideen entsprungen, welche Schicksale mit ihnen verbunden?

Das Buch wurde für die vorliegende 5. Auflage vollständig durchgesehen und aktualisiert.

Dr. Pierre Basieux studierte Mathematik, Physik und Philosophie an den Universitäten München und Graz und promovierte mit einem Thema aus Operations Research und Spieltheorie. Seit 1995 ist er selbständiger Unternehmensberater und Buchautor.

Inhalt

Inhalt 5
Prolog 8
Das Spiel und seine Elemente 13
Mathematik, Kunst und Wirklichkeit 17
Abstraktion ist Vereinfachung … bis zur Karikatur 19
Verstehen wir, was »verstehen« bedeutet? 22
0Menschenverstand, Logik und Beweis 26
Ein paar Zutaten: Aussagen 27
Spezifi kationen namens Quantoren 34
Ein paar Rezepte: Beweise 38
Sätze als Implikationen: Beweisspielarten 41
Wie man sich hoffnungslos verbeißt 46
Ratschläge eines berufenenMathematikers 49
Endlicher Beweis unendlich vieler Aussagen 50
Der »Satz vom Affen« 54
1Die Faszination, prim zu sein 57
Damit begann die Bescherung 57
Primzahlen: die erste unendliche Geschichte 59
Das Vermächtnis des professionellen Amateurs 67
Fermatisten, Goldbachvermuter, Primzwillingsforscher 74
Großjagd auf Monster 76
Faktorisieren: beliebig viele, beliebig harte Nüsse 80
Die Kryptologie und ihre Falltüren 81
2Brücken ins Unendliche 87
Die einfachste, natürliche Unendlichkeit 89
Das Unendliche zwischen Genie und Wahn 95
Kritiker und Bewunderer 98
Die Beweise 99
Die Durchnummerierung der Brüche 100
Mehr als unendlich viele 102
Algebraische und »transzendente« Zahlen 103
Was ist die Potenzmenge einer Menge? 104
Die genaue Frage und Cantors Satz 107
Die Kontinuumhypothese 111
Ist logische Stimmigkeit alles? 113
Gibt es verschiedene Kategorien von Mathematik? 115
Unendlichkeit im Kleinen 117
3Das Matrjoschka-Prinzip 123
Der letzte Akt 123
Schule: zuerst keine, dann einelangweilige 125
Die Anfänge des spielerischen Erforschens 127
Widrige Wechselfälle oder MisterMurphy was here 130
Das Vermächtnis des Duellanten 137
Das Vermächtnis des Duellanten 137
Symmetrien und Gruppen 138
Die Gestalt der Lösungsmenge einer Gleichung 143
Galois’ Rezept – das MatrjoschkaPrinzip 146
Blick durch das aufgestoßene Tor 149
Wie die Geometrien unter einen Hut kamen 150
Von der Geometrie zur Physik … 152
Ein paar unkomplizierte Exemplare ausdem Gruppenzoo 153
»Einfach« ist nicht leicht 155
Der Marathonbeweis und das Monster 157
4Zufall, Glück und Chaos 163
Die Entstehungsphase der Wahrscheinlichkeitsrechnung 164
Frühe Anwendungen in den Natur-und Wirtschaftswissenschaften 168
Die Axiomatisierung: Beginn der modernen Wahrscheinlichkeit 170
Die Gewissheit des Zufalls oder Das Gedächtnis der Roulettekugel 175
Fehlender Ausgleich, Unempfi ndlichkeit, Impotenz 177
Fortuna kontra Nemesis oder Die fundamentale Ungerechtigkeit der Natur 178
Determinismus, Berechenbarkeit, Vorhersagbarkeit, Komplexität 182
Chaos und Fröhlichkeit 186
Der Zufall im Roulette und seine –– partielle – Zähmung 190
Wahrscheinlich, glaubwürdig, plausibel: Kategorien der Ungewissheit 194
Ungewissheiten graduell defi nierenund verknüpfen 197
Außerirdische Intelligenzen? 202
Grade der Zufälligkeit: feiner als Wahrscheinlichkeiten 208
5Basar des Bizarren 213
Die Seele des Gebildes 214
Millionen konkreter Sachverhalte untereinem Hut – drei Beispiele 217
Topologische Strukturgleichheit 220
Eine kleine Vorgeschichte 223
Mannigfaltigkeiten und die Poincaré-Vermutung 228
n Dimensionen kinderleicht 229
Mannigfaltigkeiten und ihreMikrostruktur 229
Die Poincaré-Vermutung 231
Als ob eine Differenzialrechnung nichtschon genug wäre … 233
Perelman beweist Poincaré-Vermutung 236
Das Königsberger Brückenproblem 224
Die Euler’sche Polyeder-Formel 224
Das Möbius’sche Band 225
Gebilde, Löcher, Henkel und dasGeschlecht eines Knopfes 225
Das Vierfarbenproblem 238
Der erste mathematische Beweis dankComputerhilfe 245
Wann ist ein Beweis ein Beweis? 246
Die Evolution der Ästhetik derMathematik 247
6Ja, mach nur einen Plan … 250
Beispielbetrachtungen 252
Weitere Beispiele – ganzzahlige Optimierung 276
Das Rucksackproblem 277
Das Rundreiseproblem 278
»Branch and bound« oder »Teileund herrsche« 279
Das Steiner-Problem 280
Beispiel 1: Wenn meistens alles glatt läuft –lineare Programmierung 252
Beispiel 2: Banales kann kniffl ig sein – dasStundenplanproblem 257
Beispiel 3: Professionelles Geldspiel – dasArbitrageproblem 260
Beispiel 4: Vernetzte Ablaufplanung –Netzplantechniken 260
Beispiel 5: Dezentrales Instrument fürunsere Umwelt – Petri-Netze 263
Beispiel 6: Keine Erfi ndung der ZentralenPlanwirtschaft – Warteschlangen 267
Beispiel 7: Mehrstufi ge Entscheidungen –dynamische Programmierung 270
Beispiel 8: Wie fi ndet man oder frau denTraumpartner? 274
Komplexität – algorithmisch gesehen 282
Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung 286
7Das Gefangenendilemma 290
Bei-Spiele 292
Knobeln 292
Das Offenbarungsspiel 295
Das Chicken Game 296
Das Gefangenendilemma(Prisoner’s Dilemma) 297
Gleichgewicht – der rote Faden 299
Minimax-Denken: vorsichtigerZweckpessimismus 300
Das Gleichgewichtstheorem fürBaumspiele 304
Black Jack: Ein (fast) faires Casinospiel 307
Das Gleichgewichtstheorem fürnichtkooperative Spiele 313
Evolutionäre Spieltheorie und Kooperation 317
Eskalieren oder Nachgeben? 318
Evolutionsstabile Strategien undAsymmetrien 320
Das Gefangenendilemma (kurzeErinnerung) 322
Wiederholung: Zauber und Zwang 324
Tit For Tat oder das wiederholteGefangenendilemma 326
Noch einmal Tit For Tat oder DieFortsetzung des wiederholtenGefangenendilemmas 329
Tit For Tat Superstar – eine einfacheevolutionäre Variante der tausendfachenFortsetzung des wiederholtenGefangenendilemmas 330
Die Tragödie der Allmende 16 333
Angewandte Spieltheorie: illusorischer Nutzen? 334
Gemeinsame Wurzeln des Verhaltens inÖkonomie und Biologie 335
Kritik der reinen Rationalität 336
Epilog 340
Erkenntnis und Wirklichkeit 340
Mathematik: nur ein Aspekt imkonzertierten Erkenntnisbild 340
»Dieser Satz ist falsch«: Selbstreferenz 342
Selbstreproduktion – natürlich künstlich 346
Absolutismen und Superlogik:Fehlanzeige 348
Der Traum vieler Sozialphilosophen:futsch 351
Ist die Welt nun mathematisch? 353
Ein letzter Rückblick 358
Anmerkungen 362
Literatur 385
Index 394

Produkt-Details

• Erscheint lt. Verlag: 21.1.2012
• Zusatzinfo: XXVI, 394 S. 35 Abb.
• Verlagsort: Heidelberg
• Sprache: deutsch
• Themenwelt: Sachbuch/Ratgeber ► Natur / Technik ► Naturwissenschaft
• Themenwelt: Geisteswissenschaften ► Geschichte
• Themenwelt: Mathematik / Informatik ► Mathematik
• Themenwelt: Technik
• Schlagworte: Berühmte Mathematiker • Berühmte Probleme • Geschichte der Mathematik • Überblick über Mathematik
• ISBN-10: 3-8274-2885-8 / 3827428858
• ISBN-13: 978-3-8274-2885-1 / 9783827428851